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By Burkhard Külshammer

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N . Mit gT(ϕ1 , . . , ϕn ) bezeichnen wir die Menge aller gemeinsamer Teiler von ϕ1 , . . , ϕn . Ein normiertes Polynom δ ∈ gT(ϕ1 , . . , ϕn ) heißt größter gemeinsamer Teiler, von ϕ1 , . . , ϕn , falls τ | δ für alle τ ∈ gT(ϕ1 , . . , ϕn ) gilt. Wie in Z kann man zeigen, dass ϕ1 , . . , ϕn stets genau einen ggT δ haben. Wir schreiben δ = ggT(ϕ1 , . . , ϕn ). Wie in Z ist δ = ggT(ϕ1 , ggT(ϕ2 , . . , ϕn )). Daher genügt es meist, den größten gemeinsamen Teiler von zwei Polynomen zu berechnen.

Also ϕ(a) = 0. Aber: ϕ(0) = 1 = ϕ(1). Daher ist F2 [X]/(X3 + X + 1) Körper mit 23 = 8 Elementen. ) 37 Übung hinfügen 6. 1 (Teilkörper) Ein Teilkörper von K ist eine Teilmenge k von K mit folgenden Eigenschaften: (i) 0, 1 ∈ k (ii) Aus a, b ∈ k folgt, a ± b ∈ k und a · b ∈ k. 4 Gegebenenfalls ist k mit den entsprechenden eingeschränkten Verknüpfungen ein Körper. Man nennt K einen Erweiterungskörper von k, dass Paar (K, k) heißt Körpererweiterung. Man schreibt: K | k. 2 (a) C | R und R | Q sind Körpererweiterungen.

3 Nach dem Pionier der Codierungstheorie H AMMING. 4 Die Abbildung d ist eine Metrik. 2 51 8. 1 (Linearer Code) Ein (linearer) Code der Länge n ist ein Untervektorraum C ⊆ Kn . Man nennt k := dim C die Dimension von C. Außerdem heißt δ := min { d(x, y) | x, y ∈ C, x = y } = min { w(z) | 0 = z ∈ C } Minimalabstand oder Minimalgewicht von C. Man spricht dann auch von einem [n, k, δ]-Code. 1 Die dahinterliegende Idee ist, dass C das Bild der Encode-Abbildung E : Kk → Kn ist. Für e ∈ N mit 2e < δ kann C mindestens e Fehler korrigieren.

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